Question

【题目】已知等腰梯形中（如图1），， ， ， 为边上一点，且，将沿折起，使平面平面（如图2）.

（1）证明：平面平面；

（2）试在棱上确定一点，使截面把几何体分成的两部分.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：I）依题意知：CD⊥AD，即可根据面面垂直的性质定理可得：所以DC⊥平面PAD，再根据面面垂直的判定定理可得：平面PAD⊥平面PCD．

（II）根据（I）同理可得：PA⊥平面ABCD，可得平面PAB⊥平面ABCD．在AB上取一点N，MN⊥平面ABCD，设MN=h，再分别计算出VPDCMA与VMABC的数值，并且结合题意可得，所以M为PB的中点．

试题解析：

（1）因为PDCB为等腰梯形，PB=3，DC=1，PA=1，则PA⊥AD，CD⊥AD．

又因为面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，CD面ABCD，故CD⊥面PAD．

又因为CD面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD．

（2）所求的点M即为线段PB的中点．

证明如下：

设三棱锥M-ACB的高为h1，四棱锥P-ABCD的高为h2，

当M为线段PB的中点时，

所以， 所以截面AMC把几何体分成的两部分VP-DCMA∶VM-ACB=2∶1．