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【题目】已知在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (t为参数),在极坐标系(以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴)中,曲线C2的方程为ρsin2θ=2pcosθ(p>0),曲线C1、C2交于A、B两点.
(Ⅰ)若p=2且定点P(0,﹣4),求|PA|+|PB|的值;
(Ⅱ)若|PA|,|AB|,|PB|成等比数列,求p的值.

【答案】解:(Ⅰ)∵曲线C2的方程为ρsin2θ=2pcosθ(p>0),即为ρ2sin2θ=2pρcosθ(p>0),

∴曲线C2的直角坐标方程为y2=2px,p>2.

又已知p=2,∴曲线C2的直角坐标方程为y2=4x.

将曲线C1的参数方程 (t为参数)与y2=4x联立得: t+32=0,

由于△= ﹣4×32>0,

设方程两根为t1,t2

∴t1+t2=12 ,t1t2=32,

∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=12

(Ⅱ)将曲线C1的参数方程 (t为参数)与y2=2px联立得:t2﹣2 (4+p)t+32=0,

由于△= ﹣4×32=8(p2+8p)>0,

∴t1+t2=2 (4+p),t1t2=32,

又|PA|,|AB|,|PB|成等比数列,

∴|AB|2=|PA||PB,

=|t1||t2|,

=5t1t2

=5×32,

∴p2+8p﹣4=0,解得:p=﹣4

又p>0,

∴p=﹣4+2

∴当|PA|,|AB|,|PB|成等比数列时,p的值为﹣4+2


【解析】(Ⅰ)曲线C2的方程为ρsin2θ=2pcosθ(p>0),即为ρ2sin2θ=2pρcosθ(p>0),利用互化公式可得直角坐标方程.将曲线C1的参数方程 (t为参数)与抛物线方程联立得: t+32=0,可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|.(Ⅱ)将曲线C1的参数方程与y2=2px联立得:t2﹣2 (4+p)t+32=0,又|PA|,|AB|,|PB|成等比数列,可得|AB|2=|PA||PB|,可得 =|t1||t2|,即 =5t1t2,利用根与系数的关系即可得出.

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