题目内容
【题目】已知动圆在圆
:
外部且与圆
相切,同时还在圆
:
内部与圆
相切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程;
(2)记(1)中求出的轨迹为,
与
轴的两个交点分别为
、
,
是
上异于
、
的动点,又直线
与
轴交于点
,直线
、
分别交直线
于
、
两点,求证:
为定值.
【答案】(1);(2)详见解析.
【解析】
(1)由直线与圆相切,则,则
点的轨迹是以
,
为焦点的椭圆,即可求得椭圆方程;
(2)方法一:设,分别求得直线
的方程,直线
的方程,分别求得点
和
的坐标,则
,即可求得
为定值;
方法二:设直线的斜率为
,直线
的斜率为
,联立直线
的方程与直线
的方程,求出点
坐标,将点
坐标代入椭圆方程,即可求得
,
为定值.
(1)设动圆的半径为
,由已知得
,
,
,
点的轨迹是以
,
为焦点的椭圆,
设椭圆方程:(
),则
,
,则
,
方程为:;
(2)解法一:设 ,由已知得
,
,则
,
,
直线的方程为:
,
直线的方程为:
,
当时,
,
,
,
又满足
,
,
为定值.
解法二:由已知得,
,设直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,由已知得,
,
存在且不为零,
直线
的方程为:
,
直线的方程为:
,
当时,
,
,
,
联立直线和直线
的方程,可得
点坐标为
,
将点坐标代入椭圆方程
中,得
,
即,
整理得 ,
,
,
为定值.
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