Question

【题目】如图，已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是边长为4的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．

（Ⅰ）求证：AE⊥PD；

（Ⅱ）若PA=4，求二面角E—AF—C的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）通过证明PA⊥AE和AE⊥AD，可证得AE⊥平面PAD，从而得证；

（Ⅱ）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，分别求面AEF和面AFC的法向量，利用法向量求解二面角即可.

（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．

因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．

因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE．

而PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，

所以AE⊥平面PAD，又PD平面PAD．所以 AE⊥PD．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AE、AD、AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A（0，0，0），B（2，—2，0），C（2，2，0），D（0，4， 0），P（0，0，4），E（2，0，0），F（），

所以=（2，0，0），＝（）

设平面AEF的法向量为=（），

则，因此

取，则=（0，2，—1），

因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的法向量．

又（—2，6，0），所以cos＜，＞=．

因为二面角E—AF—C为锐角，所以所求二面角的余弦值为．