Question

假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,50²)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p₀.
(1)求p₀的值；(参考数据：若X～N(μ，σ²)，有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4)
(2)某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p₀的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？

Answer 1

(1) 0.977 2   (2)配备A型车5辆、B型车12辆

解：(1)由于随机变量X服从正态分布N(800，50²)，故有μ＝800，σ＝50，P(700<X≤900)＝0.954 4.
由正态分布的对称性，可得
p₀＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800<X≤900)＝＋P(700<X≤900)＝0.977 2.
(2)设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1 600x＋2 400y.
依题意，x，y还需满足x＋y≤21，y≤x＋7，
P(X≤36x＋60y)≥p₀.
由(1)知，p₀＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥p₀等价于36x＋60y≥900.
于是原问题等价于求满足约束条件
且使目标函数z＝1 600x＋2 400y达到最小的x，y.
作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)．

由图可知，当直线z＝1 600x＋2 400y经过可行域的点P时，直线z＝1 600x＋2 400y在y轴上截距最小，即z取得最小值．
故应配备A型车5辆、B型车12辆．