Question

【题目】在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1 ， 且这个几何体的体积为10． （Ⅰ）求棱AA1的长；
（Ⅱ）若A1C1的中点为O1 ， 求异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设AA1=h， 由题设 = ﹣ =10，
∴
即 ，解得h=3．
故A1A的长为3．
（Ⅱ）∵在长方体中，A1D1∥BC，
∴∠O1BC为异面直线BO1与A1D1所成的角（或其补角）．
在△O1BC中，AB=BC=2，A1A=3，
∴AA1=BC1= ， = ，
∴ ，
则cos∠O1BC= = = ．
∴异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）设AA1=h，由题设 = ﹣ ，可求出棱长．（Ⅱ）因为在长方体中A1D1∥BC，所以∠O1BC即为异面直线BO1与A1D1所成的角（或其补角）那么借助于三角形求解得到结论．
【考点精析】利用棱柱的结构特征和异面直线及其所成的角对题目进行判断即可得到答案，需要熟知两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形；异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系．