Question

【题目】如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA．
（1）求证：BE⊥平面PAC；
（2）求直线AB与平面BEF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PB⊥底面ABC，且AC底面ABC，∴AC⊥PB，

由∠BCA=90°，得AC⊥CB，

又∵PB∩CB=B，∴AC⊥平面PBC，

∵BE平面PBC，∴AC⊥BE，

∵PB=BC，E为PC中点，∴BE⊥PC，

∵PC∩AC=C，BE⊥平面PAC．

（2）解：如图，以B为原点、BC所在直线为x轴、BP为z轴建立空间直角坐标系．

则C（2，0，0），A（2，2，0），P（0，0，2），E（1，0，1），

=（ ）．

设平面BEF的法向量 =（x，y，z）．

由 ，取x=1，则得 =（1，1，﹣1）．

，

，

∴ ，

∴直线AB与平面BEF所成角的正弦值 ．

【解析】（1）推导出AC⊥PB，AC⊥CB，从而AC⊥BE，又BE⊥PC，由此能证明BE⊥平面PAC．（2）以B为原点、BC所在直线为x轴、BP为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线AB与平面BEF所成角的正弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想，以及对空间角的异面直线所成的角的理解，了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．