题目内容
【题目】知函数f（x）=ax2﹣2x+lnx（a≠0，a∈R）．
（1）判断函数 f （x）的单调性；
（2）若函数 f （x）有两个极值点x1 ， x2 ， 求证：f（x1）+f（x2）＜﹣3．
【答案】
（1）解：由题意得，函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=2ax﹣2+ 
= 
，
令g（x）=2ax2﹣2x+1，△=4﹣8a，
①a≥ 
时，△=4﹣8a≤0，f′（x）≥0恒成立，
则f（x）在（0，+∞）递增；
②a＜ 时，△=4﹣8a＞0，
由g（x）=0，解得：x1= 
，x2= 
，
（i）0＜a＜ 时，0＜x1＜x2，
此时f（x）在区间（x1，x2）递减，在（0，x1），（x2，+∞）递增；
（ii）a＜0时，x2＜0＜x1，
此时f（x）在区间（x1，+∞）递减，在（0，x1）递增，
∴a≥ 时，f（x）在（0，+∞）递增，
0＜a＜ 时，f（x）在区间（x1，x2）递减，在（0，x1），（x2，+∞）递增，
a＜0时，f（x）在区间（x1，+∞）递减，在（0，x1）递增；
（2）解：证明：由（1）得0＜a＜ 时，函数f（x）有2个极值点x1，x2，
且x1+x2= 
，x1x2= 
，
∴f（x1）+f（x2）=﹣（lna+ ）﹣（1+ln2），
令h（a）=﹣（lna+ ）﹣（1+ln2），（0＜a＜ ），
则h′（a）=﹣（ ﹣ 
）= 
＞0，
∴h（a）在（0， ）递增，
则h（a）＜h（ ）=﹣（ln +2）﹣（1+ln2）=﹣3，
即f（x1）+f（x2）＜﹣3．
【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（2）求出f（x1）+f（x2）=﹣（lna+ ）﹣（1+ln2），令h（a）=﹣（lna+ ）﹣（1+ln2），（0＜a＜ ），根据函数的单调性证明即可．
