Question

（本题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点．一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于点．
（1）若，求的值；（5分）
（2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（5分）
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．（4分）

Answer 1

（1）
（2）的横坐标为，即点是线段的中点
（3）略

解：（1）设直线的方程为，
将该方程代入得．
令，，则．
因为，解得，
或（舍去）．故．
（2）由题意知，直线的斜率为．
又的导数为，所以点处切线的斜率为，
因此，为该抛物线的切线．
（3）（2）的逆命题成立，证明如下：
设．
若为该抛物线的切线，则，
又直线的斜率为，所以，
得，因，有．
故点的横坐标为，即点是线段的中点．