题目内容
【题目】已知定点及椭圆
,过点
的动直线与椭圆相交于
,
两点.
(1)若线段中点的横坐标是
,求直线
的方程;
(2)设点的坐标为
,求证:
为定值.
【答案】(1)或
;(2)
【解析】试题分析:(1)将直线的点斜式方程(其中斜率为参数)代入椭圆方程,并设出交点A,B的坐标,消去Y后,可得一个关于X的一元二次方程,然后根据韦达定理(一元二次方程根与系数关系)易得A、B两点中点的坐标表达式,再由AB中点的横坐标是,,构造方程,即可求出直线的斜率,进而得到直线的方程.(2)由M点的坐标,我们易给出两个向量的坐标,然后代入平面向量数量集公式,结合韦达定理(一元二次方程根与系数关系),不难不求出
的值.
试题解析:
(Ⅰ)依题意,直线的斜率存在,设直线
的方程为
,
将代入
,消去
整理得
,
.
设,
,
则,
由线段中点的横坐标是
,
得,
解得,适合(
).
所以直线的方程为
,或
.
(Ⅱ)①当直线与
轴不垂直时,
由(I)知,
.(
),
所以,
.
将()代入,整理得:
,
.
②当直线与
轴垂直时,
此时点,
的坐标分别为
、
,
此时亦有.
综上, .
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某同学用“随机模拟方法”计算曲线与直线
,
所围成的曲边三角形的面积时,用计算机分别产生了10个在区间
上的均匀随机数
和10个区间
上的均匀随机数
(
,
),其数据如下表的前两行.
2.50 | 1.01 | 1.90 | 1.22 | 2.52 | 2.17 | 1.89 | 1.96 | 1.36 | 2.22 | |
0.84 | 0.25 | 0.98 | 0.15 | 0.01 | 0.60 | 0.59 | 0.88 | 0.84 | 0.10 | |
0.90 | 0.01 | 0.64 | 0.20 | 0.92 | 0.77 | 0.64 | 0.67 | 0.31 | 0.80 |
由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是( )
A. B.
C.
D.
【题目】已知椭圆经过点
,且离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设是椭圆上的点,直线
与
(
为坐标原点)的斜率之积为
.若动点
满足
,试探究是否存在两个定点
,使得
为定值?若存在,求
的坐标;若不存在,请说明理由.
【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入万元广告费用,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从
开始计数的. [附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.]
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;
(2)试估计该公司投入万元广告费用之后,对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);
(3)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:
广告投入 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益 | 2 | 3 | 2 | 7 |
由表中的数据显示, 与
之间存在着线性相关关系,请将(2)的结果填入空白栏,并求出
关于
的回归直线方程.