Question

【题目】若存在常数，使对任意的，都有，则称数列为数列.

（1）已知是公差为2的等差数列，其前n项和为.若是数列，求的取值范围；

（2）已知数列的各项均为正数，记数列的前n项和为，数列的前n项和为，且.

①求证：数列是等比数列；

②设，试证明：存在常数，对于任意的，数列都是数列.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析.

【解析】

（1）写出，通过恒成立，即可求解；

（2）①由题求出首项，根据，，两式相减，得出递推关系即可得证；②求出通项公式，根据定义建立不等式求解最值.

（1）由题可得：，是数列，

恒成立，对任意的恒成立，

对任意的恒成立，

所以；

（2）①由题：，，两式相减得：

，

，数列的各项均为正数，

所以，

，两式相减得：

，，

当n=1时，可得，数列的各项均为正数，

所以

当n=2时，可得，

所以=4

综上可得：数列是以2为首项，2为公比的等比数列；

②由①可得：，，

，对任意的恒成立，

，，

，对于任意m<0该不等式恒成立，

即存在常数，对于任意的，数列都是数列.