Question

【题目】如图，在多面体中，，四边形和四边形是两个全等的等腰梯形.

（1）求证：四边形为矩形；

（2）若平面平面，，，，求多面体的体积.

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

（1）根据全等的等腰梯形和已知条件得到且，由此证得四边形为平行四边形. 分别取，的中点，，连接，通过证明四点共面，且，且相交，由此证得平面，从而证得,由此证得四边形为矩形.（2）连结，，作，垂足为，则.先证明平面，然后证明平面，由此求得点到平面的距离、点到平面的距离，分别求得和的体积，由此求得多面体的体积.

（1）证明：∵四边形和四边形是两个全等的等腰梯形，

∴且，∴四边形为平行四边形.

分别取，的中点，.

∵，为的中点，∴，同理，∴.

∵为的中点，为的中点，∵，且.

∴，，，四点共面，且四边形是以，为底的梯形.

∵，，且，是平面内的相交线，∴平面.

∵平面，∴，又，∴.

∴四边形为矩形.

（2）解：连结，，作，垂足为，则.

∵，，∴.

在中，.

∵，平面，平面，∴平面.

∵平面平面，，平面平面，平面，

∴平面，∴点到平面的距离为2，同理，点到平面的距离为2，

则，；

，.

故多面体的体积为.