Question

10．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，三棱锥D₁-AB₁C的表面积与正方体的表面积的比为（　　）

• A． 1：1
• B． 1；$\sqrt{2}$
• C． 1：$\sqrt{3}$
• D． 1；2

Answer 1

分析 设出正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长，求出正方体的表面积和三棱锥D₁-AB₁C的表面积即可．

解答 解：设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，
则正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面积为S₂=6a²，
且三棱锥D₁-AB₁C为各棱长均为$\sqrt{2}$a的正四面体，
其中一个面的面积为
S=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{2}$a×$\sqrt{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²，
所以三棱锥D₁-AB₁C的表面积为：
S₁=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²=2$\sqrt{3}$a²；
所以三棱锥D₁-AB₁C的体积与正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面积之比为：
S₁：S₂=1：$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题考查了正方体与三棱锥的表面积公式的应用问题，是基础题目．