Question

【题目】已知分别是焦距为的椭圆的左、右顶点， 为椭圆上非顶点的点，直线的斜率分别为，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线（与轴不重合）过点且与椭圆交于两点，直线与交于点，试求点的轨迹是否是垂直轴的直线，若是，则求出点的轨迹方程，若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：

(1)由题意可求得，则椭圆的方程为.

(2)由题意分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况可得点的轨迹方程为.

试题解析：

（1）设为椭圆上非顶点的点， ，又

，即，

，故椭圆的方程为.

（2）当过点直线斜率不存在时，不妨设，直线的方程是，直线的方程是，交点为.若，由对称性可知交点为.

点在直线上，

当直线斜率存在时，设的方程为，

由得，

记，则.

的方程是的方程是，

由得，

即

.

综上所述，点的轨迹方程为.