Question

【题目】已知函数f（x）= x3﹣ （m+3）x2+（m+6）x，x∈R．（其中m为常数）
（1）当m=4时，求函数的极值点和极值；
（2）若函数y=f（x）在区间（0，+∞）上有两个极值点，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数的定义域为R

当m=4时，f（x）= x3﹣ x2+10x，

∴f′（x）=x2﹣7x+10，令f′（x）＞0，解得x＞5或x＜2．令令f′（x）＜0，解得2＜x＜5列表

x	（﹣∞，2）	2	（2，5）	5	（5，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↗		↘		↗

所以函数的极大值点是x=2，极大值是 ；函数的极小值点是x=5，极小值是

（2）解：f′（x）=x2﹣（m+3）x+m+6，要使函数y=f（x）在（0，+∞）有两个极值点，则 ，

解得m＞3．

故实数m的取值范围为（3，+∞）

【解析】（1）根据到导数和函数的极值的关系即可求出．（2）y=f（x）在区间（0，+∞）上有两个极值点，等价于f′（x）=0在（0，+∞）有两个正根，问题得以解决．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题．