Question

14．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x-x²．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）问是否存在这样的正数a，b使得当x∈[a，b]时，函数g（x）=f（x）的值域为[$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{a}$]，若存在，求出所有a，b的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）令x＜0，则-x＞0，由当x＞0时，f（x）=2x-x²，可得f（-x）的表达式，进而根据f（x）为奇函数，f（x）=-f（-x），可得答案；
（Ⅱ）分0＜a＜b≤1，0＜a＜1＜b和1≤a＜b三种情况分别讨论，a，b的取值情况，最后综合讨论结果可得答案．

解答 解：（Ⅰ）设x＜0，则-x＞0，
由f（x）=-f（-x）=-[2（-x）-（-x）²]=2x+x²，
当x=0时，f（x）=0，
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+2x，x≤0\\{-x}^{2}+2x，x＞0\end{array}\right.$；
（2）分下述三种情况：
①0＜a＜b≤1，那么$\frac{1}{a}$＞1，而当x≥0，f（x）的最大值为1，
故此时不可能使g（x）=f（x），
②若0＜a＜1＜b，此时若g（x）=f（x），
则g（x）的最大值为g（1）=f（1）=1，得a=1，这与0＜a＜1＜b矛盾；
③若1≤a＜b，因为x≥1时，f（x）是减函数，则f（x）=2x-x²，
于是有$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{b}=g（b）=-{b}^{2}+2b\\ \frac{1}{a}=g（a）=-{a}^{2}+2a\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}（a-1）（{a}^{2}-a+1）=0\\（b-1）（{b}^{2}-b+1）=0\end{array}\right.$，
考虑到1≤a＜b，
解得a=1，b=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数解析式的求解及常方法，二次函数的性质，其中利用奇函数的性质，求出函数的解析式，并分析其性质是解答本题的关键．