题目内容

19.在三棱锥A-BCD中,底面BCD是正三角形,AC=BD=2,AB=AD=$\sqrt{2}$,O为BC的中点.
(1)求证:AO⊥平面BCD;
(2)求二面角A-DC-B的余弦值.

分析 (1)由已知得AO⊥BD,AO⊥CO,由此能证明AO⊥平面BCD.
(2)以O为原点,OB为x轴,OC为y轴,OA为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A-DC-B的余弦值.

解答 解:(1)证明:∵在三棱锥A-BCD中,
底面BCD是正三角形,O为BD的中点,
∴AO⊥BD,
连结CO,∵AC=BD=2,AB=AD=$\sqrt{2}$,
∴AO=$\sqrt{2-1}$=1,CO=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$,
∴AO2+CO2=AC2,∴AO⊥CO,
又BD∩CO=O,∴AO⊥平面BCD.
(2)解:以O为原点,OB为x轴,
OC为y轴,OA为z轴,
建立空间直角坐标系,
A(0,0,1),D(-1,0,0),
C(0,$\sqrt{3}$,0),B(1,0,0),
$\overrightarrow{AD}$=(-1,0,-1),$\overrightarrow{AC}$=(0,$\sqrt{3}$,-1),
设平面ADC的法向量 $\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则 $\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=-x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=\sqrt{3}y-z=0}\end{array}\right.$,取x=1,得 $\overrightarrow{n}$=(1,-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,-1),
平面BDC的法向量 $\overrightarrow{m}$=(0,0,1),
cos<$\overrightarrow{n}$,$\overrightarrow{m}$>=$\frac{-1}{\sqrt{1+1+\frac{1}{3}}}$=-$\frac{\sqrt{21}}{7}$,
∵二面角A-DC-B是锐二面角,
∴二面角A-DC-B的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$.

点评 本题考查直线与平面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要注意向量法的合理运用,属于中档题.

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