题目内容

已知圆C过点(11,0),且与圆x2+y2=25外切于点(3,4).
(1)求两个圆的内公切线的方程(如果两个圆位于公切线的异侧,则这条公切线叫做两个圆的内公切线);
(2)求圆C的方程.
(1)∵切点M(3,4),则由题意可得,两个圆的内公切线经过点M,且和OM垂直.
∵KOM=
4-0
3-0
=
4
3
∴两个圆的内公切线的斜率为-
3
4
,故两个圆的内公切线方程为 y-4=-
3
4
(x-3),
化简可得 3x+4y-25=0.
(2)设A(11,0),切点M(3,4),∵圆x2+y2=25的圆心为原点O,圆C和它相外切,
再根据两个圆的圆心连线经过切点,∴可用点斜式求得直线MC(即直线MO)的方程是 4x+3y=0.
由于线段AM的中点为(7,2),AM的斜率为-
1
2
,故AM的中垂线的斜率为2,用点斜式求得线段AM的中垂线方程是 y=2x-12.
解方程组
4x+3y=0
y=2x-12
,求得C点坐标(18,24),半径的平方为r2=|AC|2=625,
故圆C方程是(x-18)2+(y-24)2=625.
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