题目内容
19.已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)过点(1,$\frac{\sqrt{2}}{2}$),离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.求椭圆C的方程.分析 把已知点的坐标代入椭圆方程,再由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$得到a,b的关系,然后联立方程组求得a2,b2得答案.
解答 解:∵椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)过点(1,$\frac{\sqrt{2}}{2}$),
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1$ ①,
又$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$,即a2=2b2 ②,
联立①②可得:a2=2,b2=1.
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$.
点评 本题考查椭圆方程的求法,涉及椭圆方程的求解问题,要注意隐含条件a2=b2+c2的应用,是基础题.
练习册系列答案
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4.在△ABC中,若sinBsinC=cos2$\frac{A}{2}$,则△ABC是( )
A. | 等边三角形 | B. | 等腰三角形 | C. | 直角三角形 | D. | 等腰直角三角形 |