题目内容

8.数列{an}中,a1=1,an=$\frac{{a}_{n-1}}{1+3{a}_{n-1}}$(n≥2),则数列{an}的通项公式为$\frac{1}{3n-2}$.

分析 通过对等式an=$\frac{{a}_{n-1}}{1+3{a}_{n-1}}$(n≥2)两边同时取倒数、整理可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+3(n≥2),进而可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项、3为公差的等差数列,计算即得结论.

解答 解:∵an=$\frac{{a}_{n-1}}{1+3{a}_{n-1}}$(n≥2),
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1+3{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+3(n≥2),
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1,
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项、3为公差的等差数列,
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+3(n-1)=3n-2,
∴an=$\frac{1}{3n-2}$,
故答案为:$\frac{1}{3n-2}$.

点评 本题考查数列的通项,注意解题方法的积累,属于中档题.

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