题目内容

17.若数列{an}满足:a1=$\frac{3}{2}$,an=$\frac{1}{2}-\frac{2}{{2{a_{n-1}}+1}}$(n=2,3,4,…),且有一个形如an=Asin(ωn+φ)的通项公式,其中A,ω,φ均为实数,且ω>0,则此通项公式an可以为(  )
A.an=$\frac{3}{2}sin({\frac{2π}{3}n-\frac{π}{6}})$B.an=$\sqrt{3}sin({\frac{2π}{3}n+\frac{2π}{3}})$
C.an=-$\frac{3}{2}sin({\frac{2π}{3}n+\frac{5π}{6}})$D.an=$\sqrt{3}sin({\frac{2π}{3}n-\frac{π}{3}})$

分析 由题设得到a2=0,a3=-$\frac{3}{2}$,a4=$\frac{3}{2}$,因为数列有个形如an=Asin(ωn+φ)的通项公式,而数列的周期是3,由周期公式可求ω,代入得Asin($\frac{2π}{3}$+φ)=$\frac{3}{2}$,Asin(2×$\frac{2π}{3}$+φ)=0,Asin(3×$\frac{2π}{3}$+φ)=-$\frac{3}{2}$,联立方程解答A,φ即可得解.

解答 解:∵a1=$\frac{3}{2}$,an=$\frac{1}{2}-\frac{2}{{2{a_{n-1}}+1}}$(n=2,3,4,…),
由此得到a2=0,a3=-$\frac{3}{2}$,a4=$\frac{3}{2}$…
因为数列有个形如an=Asin(ωn+φ)的通项公式,
而数列的周期是3,所以$\frac{2π}{ω}$=3,ω=$\frac{2π}{3}$,
代入得Asin($\frac{2π}{3}$+φ)=$\frac{3}{2}$,①
Asin(2×$\frac{2π}{3}$+φ)=0,②
Asin(3×$\frac{2π}{3}$+φ)=-$\frac{3}{2}$,③
因为A,ω,均为实数,且ω>0,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{Asinφ=-\frac{3}{2}}{\frac{4π}{3}+φ=kπ}}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}Acosφ+\frac{1}{2}Asinφ=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
从而得:A=$\sqrt{3}$,φ=k$π-\frac{4π}{3}$(k∈Z),
所以其中一个通项公式可以是an=$\frac{3}{2}$sin($\frac{2π}{3}$n-$\frac{π}{3}$).
故选:D.

点评 本题主要考查了数列的性质和应用,由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,三角函数的图象与性质,综合性较强,解题时要注意三角函数的应用,属于中档题.

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