Question

15．已知圆：x²+y²=64，圆C与圆O相交，圆心为C（9，0），且圆C上的点与圆O上的点之间的最大距离为21．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）在x轴上是否存在定点P，使得过点P的直线l被圆O与圆C截得的弦长d₁、d₂的比值总等于同一常数λ？若存在，求点P的坐标及λ的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）圆O₁的半径为4，圆心为O₁（9，0），从而可得圆O₁的标准方程；
（2）当直线l的斜率存在时，设方程为y=k（x-a），求出O，C到直线l的距离，从而可得d₁、d₂的值，利用d₁、d₂的比值总等于同一常数λ，建立方程，从而利用等式对任意实数k恒成立，得到三个方程，由此可得结论．

解答 解：（1）∵圆O：x²+y²=64，圆O₁与圆O相交，圆O₁上的点与圆O上的点之间的最大距离为21，
∴圆O₁的半径为4，
∵圆心为O₁（9，0），
∴圆O₁的标准方程为（x-9）²+y²=16；
（2）当直线l的斜率存在时，设方程为y-b=k（x-a），即kx-y-ka-b=0
∴O，C到直线l的距离分别为h=$\frac{|ka-b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，h₁=$\frac{|-9k+ka-b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴d₁=2$\sqrt{64-\frac{（ka-b）^{2}}{1+{k}^{2}}}$，d₂=2$\sqrt{16-\frac{（-9k+ka-b）^{2}}{1+{k}^{2}}}$
∵d₁与d₂的比值总等于同一常数λ，
∴64-$\frac{（ka-b）^{2}}{1+{k}^{2}}$=λ²[16-$\frac{（-9k+ka-b）^{2}}{1+{k}^{2}}$]
∴[64-a²-16λ²+λ²（a-9）²]k²+2b[a-λ²（a-9）]k+64-b²-λ²（16-b²）=0
由题意，上式对任意实数k恒成立，所以64-a²-16λ²+λ²（a-9）²=0，2b[a-λ²（a-9）]=0，64-b²-λ²（16-b²）=0同时成立，
①如果b=0，则64-16λ²=0，∴λ=2（舍去负值），从而a=6或18；
∴λ=2，P（6，0），P（18，0）
②如果a-λ²（a-9）=0，显然a=9不满足，从而λ²=$\frac{a}{a-9}$，3a²-43a+192=0，△=43²-4×3×192=-455＜0，故方程无解，舍去；
当点P的坐标为（6，0）时，直线l的斜率不存在，此时d₁=2$\sqrt{7}$，d₁=$\sqrt{7}$也满足
综上，满足题意的λ=2，点P有两个，坐标分别为（6，0），（18，0），
斜率不存在时 P（18，0），直线与圆外离，舍去．

点评 本题考查圆的标准方程，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力．