题目内容
5．设椭圆C1的离心率为$\frac{5}{13}$，焦点在x轴上，且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ ）| A． | $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ | B． | $\frac{x^2}{169}-\frac{y^2}{144}=1$ | C． | $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ | D． | $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ |
分析 通过椭圆方程即得双曲线C2的焦点坐标，利用定义可得结论．
解答 解：由题易知曲线C2即为双曲线，设其方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∵椭圆C1的离心率为$\frac{5}{13}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{5}{13}$，
又∵椭圆C1的焦点在x轴上，且长轴长为26，
∴a=13，b2=a2-52=169-25=144，
∴椭圆C1的方程为：$\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{144}=1$，
∴椭圆C1的焦点坐标分别为：（5，0）、（-5，0），
∴双曲线C2是以（5，0）、（-5，0）为焦点、2a=8的双曲线，
则a=4，c=5，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
即双曲线C2的方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
故选：D．
点评 本题考查椭圆、双曲线的简单性质，注意解题方法的积累，属于基础题．
练习册系列答案
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