Question

【题目】已知点P(x0,3)与点Q(x0,4)分别在椭圆=1与抛物线y2=2px(p>0)上.

(1)求抛物线的方程;

(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2)(y1≤0,y2≤0)是抛物线上的两点,∠AQB的角平分线与x轴垂直,求直线AB在y轴上的截距的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）将P(x0,3)代入=1，求得x0，将Q(x0,4)代入y2=2px，即可求得P.

（2）根据条件判定直线QA、QB的斜率关系，求出直线AB的斜率，再设出直线AB的方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由判别式大于0，且y1y2≥0，求得直线AB在y轴上的截距的取值范围

由题意可得=1,解得x0=2(-2舍去),

根据点Q(2,4)在抛物线y2=2px上,即有16=4p,解得p=4,

则有抛物线的方程为y2=8x.

(2)由(1)知点Q的坐标为(2,4),由∠AQB的角平分线与x轴垂直,可得QA,QB的倾斜角互补,即QA,QB的斜率互为相反数,

设QA的斜率为k,则QA:y-4=k(x-2),k≠0,与抛物线方程联立,

可得y2-y-16+=0,方程的解为4,y1,由根与系数的关系得y1+4=,即y1=-4,

同理y2=--4.

又=8x1,=8x2,∴kAB=-1.

设AB:y=-x+b,与抛物线方程联立可得y2+8y-8b=0,由根与系数的关系得y1+y2=-8,y1y2=-8b,

∵Δ=64+32b>0b>-2,y1·y2=-8b≥0b≤0,

∴-2<b≤0,即直线AB在y轴上的截距的取值范围是(-2,0].