Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AB=AC=1，点P是棱BB1上一点，满足 （0≤λ≤1）．

（1）若λ= ，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值；
（2）若二面角P﹣A1C﹣B的正弦值为 ，求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：以A为坐标原点O，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，

建立空间直角坐标系O﹣xyz．

∵AB=AC=1，AA1=2，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），

A1（0，0，2），B1（1，0，2），P（1，0，2λ）

由 得， ， ， ，

设平面A1BC的法向量为 =（x1，y1，z1），由 ，得

取z1=1，则x1=y1=2，从而平面A1BC的一个法向量为 =（2，2，1）．

设直线PC与平面A1BC所成的角为θ，

则sinθ=|cos＜ , ＞|= = ，

∴直线PC与平面A1BC所成的角的正弦值为

（2）解：设平面PA1C的法向量为 =（x2，y2，z2）， ，

由 ，得

取z2=1，则x2=2﹣2λ，y2=2，平面PA1C的法向量为 =（2﹣2λ，2，1）．

则cos＜ , ＞= = ，

又∵二面角P﹣A1C﹣B的正弦值为 ，∴

化简得λ2+8λ﹣9=0，解得λ=1或λ=﹣9（舍去），

故λ的值为1．

【解析】（1）以A为坐标原点O，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出直线PC与平面A1BC所成的角的正弦值．（2）求出平面PA1C的法向量和平面PA1C的法向量，利用向量法能求出λ的值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用空间角的异面直线所成的角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．