Question

13．已知函数f（x）=x²e^2x，e为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）的单调性；
（2）求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而得到函数的单调区间；（2）根据函数的单调性求出函数的最大值即可．

解答 解：（1）f′（x）=2xe^2x+2x²e^2x=2xe^2x（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜0，
∴f（x）在（-∞，-1），（0，+∞）递增，在（-1，0）递减；
（2）由（1）得：f（x）在[0，1]递增，
∴f（x）_max=f（1）=e²．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．