题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,①已知点
,直线
:
,动点
满足到点
的距离与到直线
的距离之比为
;②已知圆
的方程为
,直线
为圆
的切线,记点
到直线
的距离分别为
,动点
满足
;③点
,
分别在
轴,
轴上运动,且
,动点
满足
.
(1)在①,②,③这三个条件中任选一个,求动点的轨迹方程;
(2)记(1)中的轨迹为,经过点
的直线
交
于
,
两点,若线段
的垂直平分线与
轴相交于点
,求点
纵坐标的取值范围.
【答案】(1)不论选哪种条件,动点的轨迹方程
(2)
【解析】
(1)选①,可以用直接法求轨迹方程,选②,可以用待定系数法求轨迹方程,选③,可以用代入法求轨迹方程;(2)设,当
斜率不存在时,
,当
斜率不存在时,求出
,得到
或
,综合即得解.
(1)若选①,
设,根据题意,
,
整理得,
所以所求的轨迹方程为.
若选②,
设,直线
与圆相切于点
,
则,
由椭圆定义知,点的轨迹是以
为焦点的椭圆,
所以,
故,
所以所求的轨迹方程为.
若选③,
设,
,
,
则,
因为,
所以,
整理得,
代入得
,
所以所求的轨迹方程为
(2)设,当
斜率不存在时,
,
当斜率存在时,
设直线的方程为
,
,
,
由,消去
并整理,
得,
恒成立,
,
设线段的中点为
,
则,
所以线段的垂直平分线方程为:
,
令,得
,
当时,
,
当且仅当时,取等号,所以
;
当时,
,
当且仅当时,取等号,所以
;
综上,点纵坐标的取值范围是
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