题目内容
如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，
且B1E=C1F.求证：EF∥平面ABCD.
且B1E=C1F.求证：EF∥平面ABCD.证明略
方法一 分别过E，F作EM⊥AB于M，FN⊥BC于N，连接MN.
∵BB1⊥平面ABCD，
∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴EM∥BB1，FN∥BB1，
∴EM∥FN.
又∵B1E=C1F，∴EM=FN，
故四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN.
又MN
平面ABCD，EF
平面ABCD，
所以EF∥平面ABCD.
方法二 过E作EG∥AB交BB1于G，
连接GF，则
，
∵B1E=C1F，B1A=C1B，
∴
，∴FG∥B1C1∥BC，
又EG∩FG=G，AB∩BC=B，
∴平面EFG∥平面ABCD，而EF平面EFG，
∴EF∥平面ABCD.
∵BB1⊥平面ABCD，
∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴EM∥BB1，FN∥BB1，
∴EM∥FN.
又∵B1E=C1F，∴EM=FN，
故四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN.
又MN
平面ABCD，EF平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.
方法二 过E作EG∥AB交BB1于G，
连接GF，则
，∵B1E=C1F，B1A=C1B，
∴
，∴FG∥B1C1∥BC，又EG∩FG=G，AB∩BC=B，
∴平面EFG∥平面ABCD，而EF
平面EFG，∴EF∥平面ABCD.
练习册系列答案
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是平行四边形，点
是平面
是
的中点，在
上取一点
，过
作平面交平面
于
．
．
是两条异面直线，
，那么
与
的位置关系____________________。