题目内容
15．椭圆与双曲线有许多优美的对称性质．对于椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）有如下命题：AB是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM•kAB=-$\frac{b^2}{a^2}$，为定值．那么对于双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）则有命题：AB是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM•kAB=定值$\frac{b^2}{a^2}$．（在横线上填上正确的结论）并证明你的结论．分析 根据题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），可得M的坐标，以及kOM、kAB，进而可得kOM•kAB的表达式，将将A、B坐标代入双曲线方程，由点差法分析可得：$\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}）}}{a^2}=\frac{{（{y_1}-{y_2}）（{y_1}+{y_2}）}}{b^2}$，
解答 解：kOM•kAB为定值，且其值为kOM•kAB=$\frac{b^2}{a^2}$．
证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则有$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}\\{y_0}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}.\end{array}\right.$…（3分）
kOM=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，kAB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，即kOM•kAB=$\frac{{（{y_1}-{y_2}）（{y_1}+{y_2}）}}{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}）}}$，
将A、B坐标代入双曲线方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1可得：
$\frac{{{x_1}^2}}{a^2}-\frac{{{y_1}^2}}{b^2}=1$①
$\frac{{{x_2}^2}}{a^2}-\frac{{{y_2}^2}}{b^2}=1$②．…（5分）
①-②得：$\frac{{{x_1}^2-{x_2}^2}}{a^2}=\frac{{{y_1}^2-{y_2}^2}}{b^2}$
即$\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}）}}{a^2}=\frac{{（{y_1}-{y_2}）（{y_1}+{y_2}）}}{b^2}$，…（9分）
$\frac{{（{y_1}-{y_2}）（{y_1}+{y_2}）}}{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}）}}=\frac{b^2}{a^2}$，即kOM•kAB=$\frac{b^2}{a^2}$．…（12分）
点评 本题考查双曲线的性质，涉及类比推理的运用，解答时要联立直线与双曲线的方程，利用点差法分析求解．
| A． | 60° | B． | 45° | C． | 120° | D． | 30° |
| A． | -2excosx | B． | -2exsinx | C． | 2ex（sinx-cosx） | D． | 2ex（sinx+cosx） |