题目内容

5.已知x2f′(x)+xf(x)=lnx,且f(e)=$\frac{1}{e}$,求f(x)在(0,+∞)上的性质.

分析 由题意x2f′(x)+xf(x)=lnx两边同时除以x,格局求导法则可知等式的左边是[xf(x)]′,令g(x)=xf(x),用g(x)表示f(x)并求出f′(x),再对f′(x)的分子构造函数再求导,根据导数与单调性的关系从而求出分子的最大值,即可判断f′(x)的符号,再判断f(x)的单调性.

解答 解:由题意得,x∈(0,+∞),
由x2f′(x)+xf(x)=lnx得,xf′(x)+f(x)=$\frac{lnx}{x}$,
∴[xf(x)]′=$\frac{lnx}{x}$,
令g(x)=xf(x),则f(x)=$\frac{g(x)}{x}$,
∴f′(x)=$\frac{xg′(x)-g(x)}{{x}^{2}}$=$\frac{lnx-g(x)}{{x}^{2}}$,
令h(x)=lnx-g(x),则h′(x)=$\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}$=$\frac{1-lnx}{x}$(x>0),
令h′(x)>0,即1-lnx>0,得0<x<e时,h(x)在(0,e)上为增函数;
令h′(x)<0,即1-lnx<0,得x>e时,h(x)在(e,+∞)上为减函数;
由f(e)=$\frac{1}{e}$得,g(e)=ef(e)=1.
∴h(x)在(0,+∞)上有极大值h(e)=lne-g(e)=1-1=0,也是最大值,
∴h(x)≤0,即f′(x)≤0,当且仅当x=e时,f′(x)=0,
∴f(x)在(0,+∞)上为减函数.

点评 本题考查了函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,以及二次求导问题,在“x2f′(x)+xf(x)=lnx两边同时除以x”是解题的突破口,“求h(x)的极大值”是关键,考查根据式子和特点构造恰当的函数,观察、分析和解决问题的能力,难度较大.

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