题目内容

已知定义在的函数,对任意的,都有,且当时,.
(1)证明:当时,
(2)判断函数的单调性并加以证明;
(3)如果对任意的恒成立,求实数的取值范围.
(1)先证明,进而证明当时,
(2)严格按照单调函数的定义证明即可;
(3)

试题分析:(1)证明:取,
,即,
所以当时,.
(2)上是减函数,证明如下:
,

上是减函数.
(3)
,所以实数的取值范围为.
点评:解决抽象函数问题的主要方法是“赋值法”,而且抽象函数的单调性的证明知能用定义,利
用基本不等式求最值时,要注意“一正二定三相等”三个条件缺一不可.
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