Question

【题目】如图，已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于.

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)已知是轨迹的三个动点，点在一象限， 与关于原点对称，且，问的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）连接，根据题意， ，则 ，可得动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，即可求出动点的轨迹的方程；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，求出的坐标，同理可得点的坐标，进而表示出的面积，利用基本不等式，即可得出结论.

试题解析：(1)∵Q在线段PF的垂直平分线上，∴|QP|＝|QF|，得|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝|PE|＝4，

又|EF|＝2＜4，∴Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，∴Г： ＋y2＝1.

(2)由点A在第一象限，B与A关于原点对称，设直线AB的方程为y＝kx(k＞0)，

∵|CA|＝|CB|，∴C在AB的垂直平分线上，∴直线OC的方程为y＝－x. ，同理可得|OC|＝

当且仅当k＝1时取等号，∴S△ABC≥.

综上，当直线AB的方程为y＝x时，△ABC的面积有最小值.