Question

【题目】设，曲线在点处的切线与直线垂直．

（1）求的值；

（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）求出原函数的导函数，结合列方程，即可求得的值；（2）把（1）中求得的值代入函数解析式，由，得到，构造函数，即，然后对分类讨论，求导利用导数研究函数的单调性与最值，从而可得的取值范围．

试题解析：（1）f′（x）= ，由题设f′（1）=1，∴，∴a=0．

（2），x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1），即4lnx≤m（3x﹣﹣2）

设g（x）=4lnx﹣m（3x﹣﹣2），即x∈[1，|+∞），g（x）≤0，

∴g′（x）=﹣m（3+）=，g′（1）=4﹣4m

①若m≤0，g′（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾

②若m∈（0，1），当x∈（1，，g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）≥g（1）=0，与题设矛盾．

③若m≥1，当x∈（1，+∞），），g′（x）≤0，g（x）单调递减，g（x）≤g（1）=0，即不等式成立 综上所述，m≥1．