题目内容

【题目】已知椭圆的离心率为,且过点

(Ⅰ)求椭圆的方程.

(Ⅱ)若 是椭圆上两个不同的动点,且使的角平分线垂直于轴,试判断直线的斜率是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.

【答案】(1)(2)

【解析】试题分析:(I)由离心率可得关系,再将点坐标代入,可得间关系,又,解方程可得的值;(II)由的角平分线总垂直于轴,可判断直线的斜率互为相反数,由两直线都过点,由点斜式可写出直线方程.一一与椭圆方程联立,消去的值,可得一元二次方程,又点满足条件,可求得点的坐标,用表示.再由斜率公式可得直线的斜率为定值.

试题解析:

() 因为椭圆的离心率为, 且过点,

所以, .

因为,

解得, ,

所以椭圆的方程为.

()法1:因为的角平分线总垂直于, 所以所在直线关于直线

. 设直线的斜率为, 则直线的斜率为.

所以直线的方程为,直线的方程为.

设点, ,

消去,.

因为点在椭圆, 所以是方程的一个根, ,

所以.

同理.

所以.

.

所以直线的斜率为.

所以直线的斜率为定值,该值为.

法2:设点

则直线的斜率, 直线的斜率.

因为的角平分线总垂直于, 所以所在直线关于直线对称.

所以, 即, ①

因为点椭圆,

所以,②

. ③

由②得, 得, ④

同理由③得, ⑤

由①④⑤得,

化简得, ⑥

由①得, ⑦

⑦得.

③得,得.

所以直线的斜率为为定值.

法3:设直线的方程为,点

,

直线的斜率, 直线的斜率.

因为的角平分线总垂直于, 所以所在直线关于直线对称.

所以, 即,

化简得.

代入上式, 并化简得

. (*)

消去, (**)

,

代入(*)得,

整理得,

所以.

, 可得方程(**)的一个根为,不合题意.

时, 合题意.

所以直线的斜率为定值,该值为.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网