Question

16．某工厂生产某种产品，固定成本20000元，每生产一件产品成本增加100元，已知总收益R元（R指工厂售出产品的全部收入，它是成本与利润之和），是年产量Q（单位：件）的函数．满足关系式$R=\left\{\begin{array}{l}400Q-\frac{1}{2}{Q^2}\;\;\;（0≤Q≤400）\\ 80000\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;（Q＞400）\end{array}\right.$，求该厂每年生产多少件产品，总利润最大，最大值是多少？

Answer 1

分析 通过设该厂每年生产x件产品，总利润为y元，利用利润=收益-成本建立函数关系式，进而通过配方求出最大值．

解答 解：设该厂每年生产x件产品，总利润为y元，
依题意，y=R-20000-100x=$\left\{\begin{array}{l}{400x-{\frac{1}{2}x}^{2}-20000-100x，}&{0≤x＜400}\\{80000-20000-100x，}&{x＞400}\end{array}\right.$，
整理得：y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{x}^{2}+300x-20000，}&{0≤x＜400}\\{60000-100x，}&{x＞400}\end{array}\right.$，
当0≤x＜400时，y=-$\frac{1}{2}$（x-300）²+25000，
故当x=300时，y取最大值25000；
当x＞400时，y为递减函数，
此时y取最大值60000-40000=20000；
综上所述，当x=300时，y取最大值25000，
答：该厂每年生产300件产品，总利润最大，最大值是25000元．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．