Question

17．过点（2，-1）引直线与抛物线x²=4y只有一个公共点，这样的直线共有3条．

Answer 1

分析 分两种情况进行讨论：①当过点（2，-1）的直线不存在斜率时，容易检验；②当过点（2，-1）的直线存在斜率时，设直线方程为y+1=k（x-2），联立方程组，则方程组一解，消掉y后由△=0即可求得k值，从而得出结论．

解答 解：①当过点（2，-1）的直线不存在斜率时，直线方程为x=2，代入x²=4y得y=1，此时只有一个交点（2，1）；
②当过点（2，-1）的直线存在斜率时，设直线方程为y+1=k（x-2），
与抛物线方程联立，得x²-4kx+8k+4=0，令△=16k²-4（8k+4）=0，解得k=1±$\sqrt{2}$，
此时两直线与抛物线相切，
综上，满足条件的直线有3条，
故答案为：3．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆锥曲线的公共点个数问题往往转化为方程组的解的个数进行处理．