题目内容
【题目】某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为
，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响.
（1）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；
（2）若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙答题的得分为
，求的分布列.
【答案】（1）甲通过自主招生初试的可能性更大.（2）见解析
【解析】
（1）根据条件答对3题或4题才能通过初试，再由8个试题中甲能答对6个，知甲通过初试的概率计算属于超几何分布概率计算，而乙能答对每个试题的概率为
，知乙通过初试的概率计算属于二项分布概率计算，根据各自的概率计算公式即可求解.
（2）设乙答对试题的个数为
，得
，由的可能取值及乙能答对每个试题的概率为知：
，根据二项分布概率计算公式及
与的关系可得到的分布列.
解：（1）参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，在这8个试题中甲能答对6个，
甲通过自主招生初试的概率
，
参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，
在这8个试题中乙能答对每个试题的概率为，
乙通过自主招生初试的概率
，
，甲通过自主招生初试的可能性更大.
（2）根据题意，乙答对题的个数的可能取值为0，1，2，3，4，
因为乙能答对每个试题的概率为，
所以 ，
且，
的概率分布列为：
| 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
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