题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,上顶点为
,离心率为
,且
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)已知为坐标原点,过点
的直线
与椭圆
交于
,
两点,点
在椭圆
上,若
,试判断
是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)先利用离心率得出再根据
得出
,由
,向量数量积坐标化即可;
(2)直线斜率不存在和斜率为0时得出定值,斜率存在时设出直线方程,代入椭圆方程,利用弦长公式求出再利用垂直得出点P坐标,以此求出
的数值.最后求得和为定值.
(Ⅱ)设,
,
因为椭圆的离心率为
,所以
,即
,因为
,所以
.
因为,所以
,
,
又,所以
,即
,解得
(负值舍去),
所以,
,故椭圆
的标准方程为
.
(Ⅱ)当直线的斜率不存在时,
,
,
此时;
当直线的斜率为
时,
,
,此时
;
当直线的斜率存在且不为
时,
设直线的方程为
,
,
.
将代入
,消去
可得
,
则,
,
所以,
因为,所以直线
的方程为
,
设,因为点
在椭圆
上,所以由
可得
,
所以,
所以.
综上,为定值,该定值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题,拟定出台“延迟退休年龄政策”为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度,责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15-65岁的人群中随机调查100人,调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下:
年龄 | |||||
支持“延迟退休”的人数 | 15 | 5 | 15 | 28 | 17 |
(1)由以上统计数据填2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异;
45岁以下 | 45岁以上 | 总计 | |
支持 | |||
不支持 | |||
总计 |
参考数据:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
,其中
.
(2)若以45岁为分界点,从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动、现从这8人中随机抽2人.记抽到45岁以上的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.