Question

4．如图：二面角α-l-β的大小是60°，线段AB?α，B∈l，AB与l所成角为45°，则AB与平面β所成角的正弦值是$\frac{\sqrt{6}}{4}$．    

Answer 1

分析 根据二面角和直线和平面所成角的定义，先作出对应的平面角，结合三角形的边角关系进行求解即可．

解答 解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线，垂足为D．
连结AD，根据三垂线定理可得AD⊥l，
因此，∠ADC为二面角α-l-β的平面角，∠ADC=60°
又∵AB与l所成角为45°，
∴∠ABD=45°
连结BC，可得BC为AB在平面β内的射影，
∴∠ABC为AB与平面β所成的角．
设AD=2x，则Rt△ACD中，AC=ADsin60°=$\sqrt{3}x$，
Rt△ABD中，AB=$\frac{AD}{sin45°}=2\sqrt{2}x$，
∴Rt△ABC中，sin∠ABC=$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}x}{2\sqrt{2}x}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题主要考查线面垂直的定义与性质、二面角的平面角的定义和直线与平面所成角的定义及求法等知识．