Question

16．过点$P（-\sqrt{3}，-1）$的直线l与圆x²+y²=1有两个不同的公共点，则直线l的斜率的取值范围是（　　）

• A． $（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$
• B． $[0，\sqrt{3}]$
• C． $[\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\sqrt{3}）$
• D． $（0，\sqrt{3}）$

Answer 1

分析 用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得$\frac{|0-0+\sqrt{3}k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜1，由此求得斜率k的范围．

解答 解：由题意可得点$P（-\sqrt{3}，-1）$在圆x²+y²=1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k，
则直线方程为y+1=k（x+$\sqrt{3}$），即 kx-y+$\sqrt{3}$k-1=0．
根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于半径可得$\frac{|0-0+\sqrt{3}k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜1，
即 3k²-2$\sqrt{3}$k+1≤k²+1，解得0＜k＜$\sqrt{3}$，
故选：D．

点评 本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．