Question

16．已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为-2，其中e是自然对数的底数，求实数a的取值范围；
（3）若对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞-2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出a=1的f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；
（2）求出导数，对a讨论，求出单调区间，可得最小值，解方程，即可得到所求范围；
（3）由题意可得$\frac{f（{x}_{1}）+2{x}_{1}-[f（{x}_{2}）+2{x}_{2}]}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0恒成立，构造函数g（x）=f（x）+2x，则g（x）在（0，+∞）递增，求出导数，对x讨论，若x=$\frac{1}{2}$时，若x＞$\frac{1}{2}$时，若0＜x＜$\frac{1}{2}$时，运用参数分离，求得右边函数的最值，即可得到a的范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x²-3x+lnx，
导数为f′（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$，
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=0，
切点为（1，-2），
则切线方程为y=-2；
（2）当a＞0时，f′（x）=2ax-（a+2）+$\frac{1}{x}$=$\frac{（2x-1）（ax-1）}{x}$，
当$\frac{1}{a}$$≤\frac{1}{2}$即a≥2时，在[1，e]上，f′（x）＞0，f（x）递增，
f（1）最小，且为-2，则a-a-2+ln1=-2，成立；
当$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{a}$≤1，即为1≤a＜2时，在[1，e]上，f′（x）＞0，f（x）递增，
f（1）最小，且为-2，则a-a-2+ln1=-2，成立；
当1＜$\frac{1}{a}$≤e即为$\frac{1}{e}$≤a＜1时，f（x）在[1，$\frac{1}{a}$]递减，[$\frac{1}{a}$，e]递增，则x=$\frac{1}{a}$取得最小值，且为
$\frac{1}{a}$-1-$\frac{2}{a}$+ln$\frac{1}{a}$=-2，即有1-$\frac{1}{a}$=lna，由y=lnx和y=1-$\frac{1}{x}$的图象可得交点为（1，0），
则a∈∅；
当$\frac{1}{a}$＞e即为0＜a＜$\frac{1}{e}$时，f（x）在[1，e]递减，即有f（e）=-2，即为ae²-（a+2）e+1=-2，
解得a=$\frac{2e-3}{{e}^{2}-e}$＜0，故不成立．
综上可得，a≥1；
（3）对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞-2恒成立，
即为$\frac{f（{x}_{1}）+2{x}_{1}-[f（{x}_{2}）+2{x}_{2}]}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0恒成立，
构造函数g（x）=f（x）+2x，则g（x）在（0，+∞）递增，
由g′（x）=2ax-a+$\frac{1}{x}$≥0恒成立，若x=$\frac{1}{2}$时，显然成立；
若x＞$\frac{1}{2}$时，a≥$\frac{-1}{2{x}^{2}-x}$恒成立，即有a≥0；
若0＜x＜$\frac{1}{2}$时，a≤$\frac{-1}{2{x}^{2}-x}$恒成立，由$\frac{-1}{2{x}^{2}-x}$=$\frac{1}{-2（x-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{1}{8}}$，
当x=$\frac{1}{4}$时，取得最小值8，即有a≤8．
综上可得，0≤a≤8．
则a的取值范围是[0，8]．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查不等式恒成立问题，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．