Question

5．直线y=x+m与圆x²+y²=4交于不同的两点M、N，且$|\overrightarrow{MN}|≥\sqrt{3}|\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON|}$，其中O为坐标原点，则实数m的取值范围是$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．

Answer 1

分析 MN的中点为A，则2$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$，利用|$\overrightarrow{MN}$|≥$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$|，可得|$\overrightarrow{MN}$|≥2$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{OA}$|，从而可得|$\overrightarrow{OA}$|≤1，利用点到直线的距离公式，可得$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$≤1，即可求出实数m的取值范围．

解答 解：设MN的中点为A，则OA⊥MN，并且2$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$，
∵|$\overrightarrow{MN}$|≥$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$|，
∴|$\overrightarrow{MN}$|≥2$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{OA}$|，即为2$\sqrt{4-|\overrightarrow{OA}{|}^{2}}$≥2$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{OA}$|，解得|$\overrightarrow{OA}$|≤1，
∴O到直线MN的距离$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$≤1，
解得-$\sqrt{2}$≤m$≤\sqrt{2}$．
故答案为：$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离问题，关键是通过训练的运算得到m的不等式解之．