Question

13．已知函数f（x）=x²+2x|x-a|，其中a∈R．
（1）当a=-1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若不等式f（x）≥3在x∈[1，3]上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（x+1）^{2}，x≤-1}\\{3（x+\frac{1}{3}）^{2}-\frac{1}{3}，x＞-1}\end{array}\right.$，利用二次函数的单调性即可得出；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（x-a）^{2}+{a}^{2}，x≤a}\\{3（x-\frac{a}{3}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{3}，x＞a}\end{array}\right.$，通过对a分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（x+1）^{2}，x≤-1}\\{3（x+\frac{1}{3}）^{2}-\frac{1}{3}，x＞-1}\end{array}\right.$，
f（x）在（-∞，-1）和$（-\frac{1}{3}，+∞）$上递增，在在$（-1，-\frac{1}{3}）$上递减．
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（x-a）^{2}+{a}^{2}，x≤a}\\{3（x-\frac{a}{3}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{3}，x＞a}\end{array}\right.$，
当a≥0时，f（x）在（-∞，a）和（a，+∞）上均递增，∵f（a）=a²，则f（x）在R上递增；
当a＜0时，f（x）在（-∞，a）和$（\frac{a}{3}，+∞）$上递增，在在$（a，\frac{a}{3}）$上递减；
可知，f（x）在x∈[1，2]上恒递增，
则f_min（x）=f（1）=1+2|1-a|≥3，解得a≤0或a≥2．

点评 本题考查了二次函数的单调性、分类讨论方法，考查了数形结合思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．