题目内容
【题目】已知函数,记
.
(1)求证: 在区间
内有且仅有一个实数;
(2)用表示
中的最小值,设函数
,若方程
在区间
内有两个不相等的实根
,记
在
内的实根为
.求证:
.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,通过解关于导函数的不等式,得到函数的单调性,结合零点存在定理证出结论即可;(2)问题转化为证明x1+x2>2x0,根据m(x)在(x0,+∞)上递减,即证明m(m2)<m(2x0﹣x1),根据函数的单调性证明即可.
解析:
(1),定义域为
,
,当
时,
在
上单调递增,又
,而
在
上连续,根据零点存在定理可得:
在区间
有且仅有一个实根.
(2)当时,
,而
,故此时有
,由(1)知,
在
上单调递增,有
为
在
内的实根,所以
,故当
时,
,即
;
当时,
,即
.因而
,
当时,
,因而
在
上递增;
当时,
,因而
在
上递减;
若方程在
有两不等实根
,则满足
要证: ,即证:
,即证:
,
而在
上递减,即证:
,又因为
,即证:
,即证:
记,由
得:
.
,
,则
,当
时,
;当
时,
.
故,所以当
时,
,
,
因此,
即在递增.从而当
时,
,即
,
故得证.
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