题目内容
【题目】数列:
满足:
,
或1(
).对任意
,都存在
,使得
.,其中
且两两不相等.
(I)若.写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号;
①1,1,1,2,2,2;②1,1,1,1,2,2,2,2;③1,l,1,1,1,2,2,2,2
(Ⅱ)记.若
,证明:
;
(Ⅲ)若,求
的最小值.
【答案】(Ⅰ) ②③(Ⅱ)见解析(Ⅲ)的最小值为
【解析】试题分析:(Ⅰ)依据定义检验给出的数列是否满足要求条件.(Ⅱ)当时,
都在数列中出现,可以证明
至少出现4次,2至少出现2次,这样
. (Ⅲ)设
出现频数依次为
.同(Ⅱ)的证明,可得:
,
,
,┄,
,
,
,则
,我们再构造数列:
,证明该数列满足题设条件,从而
的最小值为
.
解析:(Ⅰ)对于①,,对于
,
或
,不满足要求;对于②,若
,则
,且
彼此相异,若
,则
,且
彼此相异,若
,则
,且
彼此相异,故②符合题目条件;同理③也符合题目条件,故符合题目条件的数列的序号为②③.
注:只得到 ② 或只得到 ③ 给[ 1分],有错解不给分.
(Ⅱ)当时,设数列
中
出现频数依次为
,由题意
.
① 假设,则有
(对任意
),与已知矛盾,所以
.同理可证:
.
② 假设,则存在唯一的
,使得
.那么,对
,有
(
两两不相等),与已知矛盾,所以
.
综上: ,
,
,所以
.
(Ⅲ)设出现频数依次为
.同(Ⅱ)的证明,可得:
,
,
,┄,
,
,
,则
.
取得到的数列为:
下面证明满足题目要求.对
,不妨令
,
① 如果或
,由于
,所以符合条件;
② 如果或
,由于
,所以也成立;
③ 如果,则可选取
;同样的,如果
,
则可选取,使得
,且
两两不相等;
④ 如果,则可选取
,注意到这种情况每个数最多被选取了一次,因此也成立.综上,对任意
,总存在
,使得
,其中
且两两不相等.因此
满足题目要求,所以
的最小值为
.
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