题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)令函数,若函数
有且只有一个零点
,试判断
与3的大小,并说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)先求导,然后讨论的大小,继而求出函数的单调性
(2)对函数求二阶导数,求出函数
的单调性,然后结合零点得到关于
的表达式,构造新函数后运用导数确定新函数的单调性,继而得出关于零点问题
(1),
①当,即
时,
时,
,
在上单调递增.
②当,即
时,
时,
时,
.
所以在
上单调递减,在
单调递增.
(2)函数,
则,令
则,所以
在
上单调递增,
当且
时,
,
时
,
所以在
上有唯一零点,
当时,
,
时,
,所以
为
的最小值.
由已知函数有且只有一个零点
,则
,
所以,
,
令,
,
所以,
,
,
,
所以在
单调递减,
因为,
,
所以在
上有一个零点,在
无零点,
若在
有零点必小于3,
综上:.
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