题目内容
【题目】已知椭圆C： 
的右焦点为F（1，0），且点（﹣1， 
）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得 
恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）解：由题意，c=1
∵点（﹣1， 
）在椭圆C上，∴根据椭圆的定义可得：2a= 
，∴a= 
∴b2=a2﹣c2=1，
∴椭圆C的标准方程为 
（2）解：假设x轴上存在点Q（m，0），使得 
恒成立
当直线l的斜率为0时，A（ ，0），B（﹣ ，0），则 
=﹣ 
，∴ 
，∴m= 
①
当直线l的斜率不存在时， 
， 
，则 
=﹣ ，
∴ 
∴m= 
或m= 
②
由①②可得m= ．
下面证明m= 时， 恒成立
当直线l的斜率为0时，结论成立；
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）
直线方程代入椭圆方程，整理可得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，∴y1+y2=﹣ 
，y1y2=﹣ 
∴ 
=（x1﹣ ，y1）（x2﹣ ，y2）=（ty1﹣ 
）（ty2﹣ ）+y1y2=（t2+1）y1y2﹣ t（y1+y2）+ 
= 
+ =﹣
综上，x轴上存在点Q（ ，0），使得 恒成立
【解析】（1）利用椭圆的定义求出a的值，进而可求b的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）先利用特殊位置，猜想点Q的坐标，再证明一般性也成立即可．
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