Question

【题目】从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦点， 是椭圆的右顶点， 是椭圆的上顶点，且.

（1）求该椭圆的方程；

（2）不过原点的直线与椭圆交于两点，已知，直线， 的斜率, 成等比数列，记以， 为直径的圆的面积分别为，求证； 为定值，并求出定值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：

(1)由通项公式可得，结合，可得， ，则该椭圆的方程为.

(2)令，联立直线方程与椭圆方程可得，由韦达定理有， ， 成等比数列，则，则，据此整理计算可得，结合面积公式计算可得为定值.

试题解析：

（1）由题可知，由，可得，所以， ，

则该椭圆的方程为.

（2）令， ， ，

由的两根为，

知， ，由可得.

又，成等比数列可知

，则，

∴，

∴

.