Question

【题目】如图，过圆O外一点P作圆的切线PC，切点为C，割线PAB、割线PEF分别交圆O于A与B、E与F．已知PB的垂直平分线DE与圆O相切．

（1）求证：DE∥BF；
（2）若 ，DE=1，求PB的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接BE，

∵DE与圆O相切，

∴由弦切角定理可得，∠BED=∠BFE

又∵DE垂直平分BP，∴∠BED=∠DEP

∴∠BFE=∠DEP，

∴DE∥BF

（2）解：由切割线定理，得 PC2=PE×PF=12，

∵D为线段BP的中点，DE∥BF；

∴PF=2PE，

∴PF=2 ，

∵DE=1，DE∥BF，PB的垂直平分线DE与圆O相切．

∴DE为Rt△PBF的中位线，

∴DE=2，

在Rt△PBF中，由勾股定理，可得，PB=2 ．

【解析】（1）由题意可得，∠BED=∠BFE，∠BED=∠DEP，即可证得；（2）由切割线定理，勾股定理，即可计算解得答案．