题目内容
【题目】设是
在点
处的切线.
(1)求证: ;
(2)设,其中
.若
对
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)求导得切线斜率,进而得切线方程,令,求导利用单调性可得
,从而得证.
(2)由,结合定义域
,讨论
时,由
可得
,得函数单增,可证得,讨论
时,由导数可得存在
,使得
,
,从而得解.
(1)设 ,则
,所以
.所以
.
令.
满足
,且
.
当时,
,故
单调递减;
当时,
,故
单调递增.
所以, .所以
.
(2)法一: 的定义域是
,且
.
① 当时,由(1)得
,
所以 .
所以 在区间
上单调递增, 所以
恒成立,符合题意.
② 当时,由
,且
的导数
,
所以 在区间
上单调递增.
因为,
于是存在 ,使得
.
所以 在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
所以,此时
不会恒成立,不符合题意.
综上, 的取值范围是
.
法二:∵
∴
当
当
令=
令,
故,故
,
综上.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】在某测试中,卷面满分为100分,60分为及格,为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响,特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计,数据如下表所示:
分数段 | 29~ 40 | 41~ 50 | 51~ 60 | 61~ 70 | 71~ 80 | 81~ 90 | 91~ 100 |
午休考 生人数 | 23 | 47 | 30 | 21 | 14 | 31 | 14 |
不午休 考生人数 | 17 | 51 | 67 | 15 | 30 | 17 | 3 |
(1)根据上述表格完成列联表:
及格人数 | 不及格人数 | 总计 | |
午休 | |||
不午休 | |||
总计 |
(2)根据列联表可以得出什么样的结论?对今后的复习有什么指导意义?
【题目】为了解学生寒假阅读名著的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果如下表:
本数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
男生 | 0 | 1 | 4 | 3 | 2 | 2 |
女生 | 0 | 0 | 1 | 3 | 3 | 1 |
(I)从这班学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率;
(II)若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人,设选到的男学生人数为 X,求随机变量 X的分布列和数学期望;
(III)试判断男学生阅读名著本数的方差 与女学生阅读名著本数的方差
的大小(只需写出结论).